集合

集合及基本关系¶

对象(即元素)所构成的整体

集合: 大写字母 $\mathbb{A}, \mathbb{B}, \mathbb{C},...$

元素: 小写字母 $a, b, c,...$

列举法描述法

$\mathbb{A} = \{a, b, c, ..., z\}$

$\mathbb{A} = \{x \mid p(x)\}$ ¹

特殊的集合

$\mathbb{N}$: 自然数集

$\mathbb{N}_+\ or\ \mathbb{N}^*$: 正整数集

$\mathbb{Z}$: 整数集

$\mathbb{Q}$: 有理数集

$\mathbb{R}$: 实数集

$\mathbb{C}$: 复数集

元素与集合的关系集合与集合的关系

属于: $a \in \mathbb{A}$

不属于: $b \notin \mathbb{A}$

子集: $\mathbb{B} \subseteq \mathbb{A} \iff \mathbb{A} \supseteq \mathbb{B} $

相等: $\mathbb{A} = \mathbb{B}$

真子集: $\mathbb{B} \subsetneqq \mathbb{A} \iff \mathbb{A} \supsetneqq \mathbb{B} $

数集，表范围: $\mathbb{A} = \{x \mid p(x)\}$

点集，表图像: $\mathbb{B} = \{(x, y) \mid y = x^2 \}$

交集并集补集

$\mathbb{A} \cap \mathbb{B} = \{x \mid x \in \mathbb{A}\ and\ x \in \mathbb{B}\}$

即对集合进行 "与 $\land$" 操作

$\mathbb{A} \cup \mathbb{B} = \{x \mid x \in \mathbb{A}\ or\ x \in \mathbb{B}\}$

即对集合进行 "或 $\lor$" 操作

$\complement_\mathbb{U} \mathbb{A} = \{x \mid x \in \mathbb{U}\ and\ x \notin \mathbb{A}\}$

运算变形 & 性质

并集的性质补集的性质

$\mathbb{A} \cup \emptyset = \mathbb{A}$

$(\mathbb{A} \cup \mathbb{B}) \supseteq \mathbb{A}$

$\mathbb{A} \cup \mathbb{B} \iff \mathbb{B} \subseteq \mathbb{A}$

$\complement_\mathbb{U} \mathbb{U} = \emptyset$

$\complement_\mathbb{U} \emptyset = \mathbb{U}$

$\complement_\mathbb{U} (\complement_\mathbb{U} \mathbb{A}) = \mathbb{A}$

$\mathbb{A} \cup (\complement_\mathbb{U} \mathbb{A}) = \mathbb{U}$

$\mathbb{A} \cap (\complement_\mathbb{U} \mathbb{A}) = \emptyset$