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集合及基本关系

定义

对象(即元素)所构成的整体

表示

集合: 大写字母 A,B,C,...\mathbb{A}, \mathbb{B}, \mathbb{C},...

元素: 小写字母 a,b,c,...a, b, c,...

写法

数集的写法

A=a,b,c,...,z\mathbb{A} = \\{a, b, c, ..., z\\}

A=x∣p(x)\mathbb{A} = \\{x \mid p(x)\\} 1

特殊的集合

N\mathbb{N}: 自然数集

N+ or N∗\mathbb{N}_+\ or\ \mathbb{N}^*: 正整数集

Z\mathbb{Z}: 整数集

Q\mathbb{Q}: 有理数集

R\mathbb{R}: 实数集

C\mathbb{C}: 复数集

关系的写法

属于: a∈Aa \in \mathbb{A}

不属于: b∉Ab \notin \mathbb{A}

子集: $\mathbb{B} \subseteq \mathbb{A} \iff \mathbb{A} \supseteq \mathbb{B} $

相等: A=B\mathbb{A} = \mathbb{B}

真子集: $\mathbb{B} \subsetneqq \mathbb{A} \iff \mathbb{A} \supsetneqq \mathbb{B} $

数集 & 点集

数集，表范围: A=x∣p(x)\mathbb{A} = \\{x \mid p(x)\\}

点集，表图像: B=(x,y)∣y=x2\mathbb{B} = \\{(x, y) \mid y = x^2 \\}

集合间的运算及运用

A∩B=x∣x∈A and x∈B\mathbb{A} \cap \mathbb{B} = \\{x \mid x \in \mathbb{A}\ and\ x \in \mathbb{B}\\}

即对集合进行 "与 ∧\land" 操作

A∪B=x∣x∈A or x∈B\mathbb{A} \cup \mathbb{B} = \\{x \mid x \in \mathbb{A}\ or\ x \in \mathbb{B}\\}

即对集合进行 "或 ∨\lor" 操作

∁UA=x∣x∈U and x∉A\complement_\mathbb{U} \mathbb{A} = \\{x \mid x \in \mathbb{U}\ and\ x \notin \mathbb{A}\\}

运算变形 & 性质

A∪∅=A\mathbb{A} \cup \emptyset = \mathbb{A}

(A∪B)⊇A(\mathbb{A} \cup \mathbb{B}) \supseteq \mathbb{A}

A∪B  ⟺  B⊆A\mathbb{A} \cup \mathbb{B} \iff \mathbb{B} \subseteq \mathbb{A}

∁UU=∅\complement_\mathbb{U} \mathbb{U} = \emptyset

∁U∅=U\complement_\mathbb{U} \emptyset = \mathbb{U}

∁U(∁UA)=A\complement_\mathbb{U} (\complement_\mathbb{U} \mathbb{A}) = \mathbb{A}

A∪(∁UA)=U\mathbb{A} \cup (\complement_\mathbb{U} \mathbb{A}) = \mathbb{U}

A∩(∁UA)=∅\mathbb{A} \cap (\complement_\mathbb{U} \mathbb{A}) = \emptyset

  1. 默认 x∈Rx \in \mathbb{R} ↩

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